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1- Descrições: Posições, Orientações e Sistemas de Referência

Descrição é usada para especificar atributos dos objetos com os quais um sistema de manipulação utiliza. Objetos podem ser peças, ferramentas e o próprio manipulador.

Descrição de uma posição

Através de um sistema de coordenadas estabelecido, podemos localizar qualquer ponto com um vetor de posição 3  X 1 (linhas) X (colunas).

A expressão acima representa um sistema de coordenadas, {A}, com três vetores unitários mutuamente ortogonais. Um ponto AP é representado como um vetor e pode equivalentemente ser considerado uma posição no espaço. Os elementos individuais de um vetor são dados como x, y e z:

Vetor em relação á um sistema de referência

Descrição de uma orientação

Muitas vezes precisamos além de representar um ponto no espaço, descrever a orientação de um corpo no espaço.

Localizando a posição e a orientação de um objeto

Para descrever a orientação de um corpo, fixamos um sistema de coordenadas ao corpo e depois descrevemos com relação ao sistema de referência. Na imagem acima, o sistema de coordenadas {B} foi fixado ao corpo. Desta forma, uma descrição de {B} em relação á {A} é suficiente para dar a orientação do corpo. 

Um maneira de descrever o sistema de coordenadas fixado ao corpo, {B}, é escrever os vetores unitários de seus três eixos em termos do sistema de coordenadas {A}.

Assim, definimos o vetores unitários do sistema de coordenadas {B} como Xb, Yb e Zb. Quando escritos em termos do sistema de coordenadas {A}, são chamados de AXbAYb e AZb .  Desta forma, juntamos esses três vetores unitários com as colunas de uma matriz 3 X 3, denominada de matriz rotacional. Como essa matriz rotacional descreve {B} em relação a {A} vamos defini-la como a seguinte notação: ABR.

Em resumo, um conjunto de 3 vetores pode ser usado para especificar uma orientação. Assim, por conveniência, construímos uma matriz 3 X 3 que tem os três vetores como suas colunas. Por consequência, enquanto a posição de um ponto é representada por um vetor, a orientação de um corpo é representada por uma matriz.

Podemos dar expressões para os valores escalares rij na equação acima, observando-se que os componentes de cada vetor nada mais são do que projeções desse vetor nas direções unitárias do seu sistema de referência. Desta forma, cada componente ABR pode ser escrito como o produto escalar de um par de vetores unitários:

Podemos omitir os sobrescritos na matriz à direita. O produto escalar de dois vetores unitários gera o cosseno do ângulo entre eles, gerando a denominação de cossenos direcionais.

As linhas da matriz são os vetores unitários de {A} expressos em {B}, ou seja:

 

  

Descrição de um sistema de referência

A informação necessária para especificar o local onde se encontra o atuador é uma posição e uma orientação. No entanto, o ponto do corpo pode ser escolhido arbitrariamente. Por conveniência, o ponto escolhido deve ser definido como a origem do sistema de referência fixado ao corpo.

Definimos um sistema de referência ou referencial como sendo um conjunto de quatro vetores que fornecem informação de posição e orientação. Por exemplo na figura abaixo, um vetor localiza a ponta da garra mecânica e os outros três descrevem sua orientação.